Sobre el infinito

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Uno de los conceptos matemáticos más esquivos y a la vez misteriosos es el de infinito.

Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es. ¿A quién no le produce desazón pensar en el infinito?

El infinito es uno concepto ignoto.

Si viajamos en una nave espacial a gran velocidad por el espacio, partiendo de nuestro planeta Tierra y en línea recta con rumbo fijo, suponiendo que somos inmortales y disponemos de combustible infinito, ¿llegará un momento en el que encontraremos el fin del Universo, una señal de no pasar, un precipicio infranqueable, o volveremos a nuestro punto de partida? No lo sabemos.

Desde la época de Aristóteles se ha discutido mucho de si sólo existe un infinito potencial, es decir, que reside en nuestra mente como algo inalcanzable, como lo es el proceso de contar o por el contrario sólo existe un infinito actual.

Todos sabemos que por muchos números que contemos siempre le podemos añadir uno más pero nunca alcancemos el final. Por tanto el infinito es un concepto y no algo en si mismo.

El segundo tipo de infinito es el llamado infinito actual. Este es aprehensible y tiene una realidad como tal e incluso podemos manipularlo.

Georg Cantor fue un matemático que tuvo la osadía de tratar al infinito como un numero mas y por tanto tratarlo como tal. Trató al infinito como infinito actual y lo consiguió dominar.

Cantor abordó el desafío como un problema de Conjuntos. Un conjunto es una colección de elementos de una determinada clase.

El conjunto más familiar para nosotros en el conjunto de los números naturales:

 =1, 2, 3, 4, 5,...

Todos sabemos contar y somos conscientes que por mucho que contemos siempre podemos añadir una unidad al numero más alto contado alcanzado. Luego en conjunto de los números naturales es infinito.

Otro de estos conjuntos es el de los números enteros denominado:

=3,2,1,0,1,2,3,...

El conjunto de los números racionales se designa por Q como son el 2/3, 1,5, etc.

Existen también el conjunto de los números irracionales como lo son: √2, π, Φ, etc.

Volvamos a los números naturales. Sabemos que un subconjunto de los números naturales son los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, …hasta el infinito.

La pregunta que se hizo Cantor es cuales de estos dos conjuntos es mayor. Hay mas números naturales o pares. El sentido común nos indica claramente que como los números pares son parte del conjunto de los números naturales y ya que el todo es mayor de cualquiera de sus partes, es mayor el conjunto de los números naturales.

Aquí viene lo revolucionario del planteamiento de Georg Cantor.

Cantor procedió a hacer una correspondencia biunívoca entre cada uno de los números de los elementos de dichos conjuntos emparejándolos de tal manera que ninguno quedase sin pareja.

1  → 2

2 → 4

3 → 6

4 → 8

Lo sorprendente de esté resultado es que para numero entero existe uno su hermano par, ni sobrando ni faltando ningún elemento de ambos conjuntos. Concluyó por tanto que ambos conjuntos tienen el mismo números de elementos. Hay la misma cantidad de números enteros como de pares.

Este resultado es sorprendente e inesperado porque la intuición nos empuja a pensar que hay muchas más números enteros  que números pares. El infinito no sigue las reglas del sentido común siendo unas de las partes(los pares) igual que el todo(lo enteros).

Cantor designo como número que representa la cantidad de números enteros y de pares como cardial ℵo (Alef Subcero). Alef subcero es un número transfinito.